Infimo contrario

Lim sup

ResumenEs bien sabido que la noción de límite en la topología aguda de secuencias de números generalizados de Colombeau \(\widetilde{mathbb {R}}) no generaliza los resultados clásicos. Esto tiene varias consecuencias profundas, por ejemplo, en el estudio de las series, las funciones analíticas generalizadas, o la sigma-aditividad y los teoremas clásicos de límite en la integración de funciones generalizadas. La falta de estos resultados también está relacionada con el hecho de que \N(widetilde{\mathbb {R}}) no es necesariamente un conjunto ordenado completo, por ejemplo, el conjunto de todos los infinitesimales no tiene ni supremio ni infimo. Presentamos una solución a estos problemas con la introducción de las nociones de número hipernatural, hipersecuencia, supremio cercano e ínfimo. De este modo, podemos generalizar todos los teoremas clásicos para el hiperlímite de una hipersecuencia. El artículo explora ideas que pueden aplicarse a otros entornos no arquimédicos.

Inf sup max min

El ínfimo es, en un sentido preciso, dual al concepto de supremo. Los infimos y supremos de los números reales son casos especiales comunes que son importantes en el análisis, y especialmente en la integración de Lebesgue. Sin embargo, las definiciones generales siguen siendo válidas en el ámbito más abstracto de la teoría del orden, donde se consideran conjuntos arbitrarios parcialmente ordenados.

Los conceptos de ínfimo y supremum son parecidos a los de mínimo y máximo, pero son más útiles en el análisis porque caracterizan mejor los conjuntos especiales que pueden no tener mínimo ni máximo. Por ejemplo, el conjunto de los números reales positivos

En consecuencia, los conjuntos parcialmente ordenados para los que se conoce la existencia de ciertos mínimos resultan especialmente interesantes. Por ejemplo, un entramado es un conjunto parcialmente ordenado en el que todos los subconjuntos finitos no vacíos tienen tanto un sumo como un mínimo, y un entramado completo es un conjunto parcialmente ordenado en el que todos los subconjuntos tienen tanto un sumo como un mínimo. Para más información sobre las distintas clases de conjuntos parcialmente ordenados que surgen de estas consideraciones, véase el artículo sobre las propiedades de completitud.

Límite superior

Si el máximo existe, entonces el supremum y el máximo son lo mismo. Sin embargo, a veces el máximo no existe, y no hay ningún elemento máximo. En este caso, sigue teniendo sentido hablar de un límite superior mínimo.

Un máximo es el mayor número DENTRO de un conjunto. Un sup es un número que LIMITA un conjunto. Un sup puede o no formar parte del propio conjunto (el 0 no forma parte del conjunto de los números negativos, pero es un sup porque es el menor límite superior). Si el sup forma parte del conjunto, también es el máximo.

¿Qué significa sup en matemáticas?

El infimo es, en un sentido preciso, dual al concepto de supremum. Los infimos y supremos de los números reales son casos especiales comunes que son importantes en el análisis, y especialmente en la integración de Lebesgue. Sin embargo, las definiciones generales siguen siendo válidas en el entorno más abstracto de la teoría del orden, donde se consideran conjuntos arbitrarios parcialmente ordenados.

Los conceptos de ínfimo y supremum son parecidos a los de mínimo y máximo, pero son más útiles en el análisis porque caracterizan mejor los conjuntos especiales que pueden no tener mínimo ni máximo. Por ejemplo, el conjunto de los números reales positivos

En consecuencia, los conjuntos parcialmente ordenados para los que se conoce la existencia de ciertos mínimos resultan especialmente interesantes. Por ejemplo, un entramado es un conjunto parcialmente ordenado en el que todos los subconjuntos finitos no vacíos tienen tanto un sumo como un mínimo, y un entramado completo es un conjunto parcialmente ordenado en el que todos los subconjuntos tienen tanto un sumo como un mínimo. Para más información sobre las distintas clases de conjuntos parcialmente ordenados que surgen de estas consideraciones, véase el artículo sobre las propiedades de completitud.